離散分布入門：一様分布、ベルヌーイ分布、二項分布

2025年8月21日

主要な離散確率分布の入門：一様分布、ベルヌーイ分布、二項分布を例、期待値、分散とともに紹介します。

ProbabilityBeginnerDiscrete Distribution

これまで、確率分布が確率変数の取り得る値とそれに割り当てられた確率の関係を記述することを見てきました。
この記事では、3つの基本的な離散分布に焦点を当てます：
離散一様分布、ベルヌーイ分布、二項分布です。

それぞれについて、定義、例、期待値、分散を見ていきます。

離散一様分布

定義
確率変数 $X$ が $\\{1,2,3,\\dots,n\\}$ の値を等確率で取る場合：

P(X=k) = \frac{1}{n}, \quad k = 1,2,\\dots,n

例：公正なサイコロ
6面サイコロを振ることは、 $n=6$ の一様分布に対応します：

P(X=k) = \frac{1}{6}, \quad k=1,2,3,4,5,6

期待値と分散

期待値：

E[X] = \frac{1+2+\\dots+n}{n} = \frac{n+1}{2}

分散：

V[X] = \frac{n^2-1}{12}

サイコロ（ $n=6$ ）の場合：

E[X] = 3.5, \quad V[X] = \frac{35}{12} \approx 2.92

ベルヌーイ分布

定義
確率変数 $X$ が確率 $p$ で「成功」（1）、確率 $1-p$ で「失敗」（0）を表す場合：

P(X=1) = p, \quad P(X=0) = 1-p

例：コイン投げ
コインを1回投げて、表を「成功」とします。
$p=0.5$ の場合：

P(X=1) = 0.5, \quad P(X=0) = 0.5

期待値と分散

期待値：

E[X] = 0 \\cdot (1-p) + 1 \\cdot p = p

分散：

V[X] = p(1-p)

公正なコイン（ $p=0.5$ ）の場合：

E[X] = 0.5, \quad V[X] = 0.25

二項分布

定義
二項分布は、それぞれ成功確率 $p$ の $n$ 回の独立なベルヌーイ試行における成功回数を記述します。

P(X=k) = \\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k=0,1,2,\\dots,n

例：コインを10回投げる
公正なコイン（ $p=0.5$ ）を10回投げる場合、 $k$ 回表が出る確率は：

P(X=k) = \\binom{10}{k} \\left(\\frac{1}{2}\\right)^{10}

期待値と分散

期待値：

E[X] = np

分散：

V[X] = np(1-p)

$n=10, p=0.5$ の場合：

E[X] = 5, \quad V[X] = 2.5

まとめ

離散一様分布：すべての結果が同等に起こりやすい（例：サイコロ）。
- $E[X]=\\tfrac{n+1}{2}, \quad V[X]=\\tfrac{n^2-1}{12}$
ベルヌーイ分布：2つの結果、成功（1）または失敗（0）（例：コイン投げ）。
- $E[X]=p, \quad V[X]=p(1-p)$
二項分布： $n$ 回の独立なベルヌーイ試行における成功回数。
- $E[X]=np, \quad V[X]=np(1-p)$

この3つは離散確率分布の基本的な構成要素であり、より高度な分布を学ぶ土台となります。

Interactive Discrete Distributions Demo

Number of outcomes (n):6

Uniform Distribution

Statistics

Expectation (Mean)

E[X] = 3.500

Variance

Var(X) = 2.917

Standard Deviation

σ = 1.708

Formulas:

E[X] = (n+1)/2

Var(X) = (n²-1)/12

About This Distribution

The discrete uniform distribution assigns equal probability to each of n possible outcomes. Like rolling a fair die, each outcome is equally likely. As you increase n, the variance increases but each individual probability decreases.