一元配置分散分析（One-Way ANOVA）を段階的に理解する

3群以上の平均を比較したいときに使う代表的手法が 一元配置分散分析（ANOVA） です。
ここでは、式だけでなく「なぜその計算をするのか」まで順を追って説明します。

1. 問題設定

例えば3クラスのテスト点数があるとします。

クラス	点数
A	56, 60, 58, 62, 59
B	70, 72, 75, 68, 74
C	45, 50, 48, 52, 47

目的は、平均点に有意差があるかを判定することです。

2. 仮説

• 帰無仮説 $H_0$：すべての群平均は等しい（$\mu_1=\mu_2=\mu_3$）
• 対立仮説 $H_1$：少なくとも1つは異なる

ANOVA の考え方は、群間のばらつき（平均同士の差）と、群内のばらつき（各群内部の散らばり）を比較することです。

3. 平均の計算

• 群平均：$\bar{x}_i = \frac{1}{n_i}\sum_{j=1}^{n_i} x_{ij}$
• 総平均：$\bar{x} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n_i} x_{ij}$

4. 変動の分解

• 全体平方和（SST）：$\text{SST}=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n_i}(x_{ij}-\bar{x})^2$
• 群間平方和（SSB）：$\text{SSB}=\sum_{i=1}^{k}n_i(\bar{x}_i-\bar{x})^2$
• 群内平方和（SSW）：$\text{SSW}=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{n_i}(x_{ij}-\bar{x}_i)^2$

基本関係は $\text{SST}=\text{SSB}+\text{SSW}$ です。

5. F統計量

• $\text{MSB}=\frac{\text{SSB}}{k-1}$
• $\text{MSW}=\frac{\text{SSW}}{N-k}$
• $F=\frac{\text{MSB}}{\text{MSW}}$

を計算し、F分布に基づいて有意性を判定します。

まとめ

• ANOVA は、群間変動と群内変動の比で平均差を評価する。
• F が大きいほど、群平均が等しいという仮説に反する証拠が強い。
• 3群以上の比較で、t検定の多重実行より一貫した判定ができる。

Interactive One-Way ANOVA Explorer

📊 Edit Your Data

Group A

Mean: 59.00

Group B

Mean: 71.80

Group C

Mean: 48.40

Grand Mean: 59.73

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Step 1: Calculate Group and Overall Means

First, we calculate the mean for each group and the overall grand mean.

📈 Means Calculation

Group Means:

• Group A: 59.00
• Group B: 71.80
• Group C: 48.40

Grand Mean:

59.73

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