集合から確率を組み立てる：事象とσ-代数

この記事では、確率論の土台になる事象とσ-代数を、集合の考え方から順に整理します。
「確率をどう厳密に定義するのか？」という疑問に答える内容です。

1. 事象とは何か

確率論では、まず標本空間（起こりうる結果の全体）を定めます。
事象とは、その部分集合です。

例：サイコロ1回

• 標本空間：1,2,3,4,5,6
• 「1が出る」
• 「1以外が出る」
• 「偶数が出る」

2. なぜ集合の集まりが必要か

確率を任意の部分集合すべてに与えると、矛盾が起こる場合があります。
そのため、どの集合を事象として採用するかを先に決める必要があります。

3. 代数とσ-代数

代数は「補集合」と「有限個の和集合」で閉じる集合族です。
σ-代数はそれに加えて「可算個の和集合」でも閉じる集合族です。

4. なぜσ-代数が重要か

連続分布や無限回試行では、可算極限を扱う操作が不可欠です。
σ-代数を使うことで、そうした状況でも確率の定義を一貫して保てます。

まとめ

• 事象は標本空間の部分集合。
• 確率を厳密に扱うには、事象として許す集合族を決める必要がある。
• その中心概念がσ-代数であり、確率論の基盤になる。