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分散と標準偏差

分散・標準偏差の定義、計算、n-1補正（ベッセル補正）、偏差を二乗する理由を初学者向けに解説します。

BeginnerVarianceStandard Deviation

分散と標準偏差：式から直感まで

分散と標準偏差は、データのばらつきを表す基本指標です。この記事では以下を扱います。

  • 定義と直感
  • 計算のショートカット式
  • なぜ標本分散は n−1n-1 で割るのか
  • なぜ偏差を絶対値でなく二乗するのか

0. 記号

  • データ：x1,…,xnx_1,\dots,x_n
  • 標本平均：xˉ=1n∑i=1nxi\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i
  • 母分散：σ2=E[(X−μ)2]\sigma^2=\mathbb{E}[(X-\mu)^2]
  • 不偏標本分散：s2=1n−1∑i=1n(xi−xˉ)2s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2
  • 標準偏差：σ=σ2, s=s2\sigma=\sqrt{\sigma^2},\ s=\sqrt{s^2}

1. 直感

偏差 xi−xˉx_i-\bar{x} は総和が0になるため、ばらつき指標としては二乗して平均を取ります。

s2=1n−1∑i=1n(xi−xˉ)2s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2
  • 分散：平均からの二乗距離の平均
  • 標準偏差：分散の平方根で、元の単位に戻した量

Interactive Demo: Small vs. Large Variance

Low Variance (n = 18)

Raw Data:
[4.6, 4.7, 4.8, 4.8, 4.9, 4.9, 4.9, 5.0, 5.0, 5.0, 5.0, 5.1, 5.1, 5.1, 5.2, 5.2, 5.3, 5.4]
Mean (x̄)
5.00
Variance (s²)
0.04
Std Dev (s)
0.21

Distribution Histogram

Key Observations:

  • • Low variance → data clustered tightly around the mean (narrow bell)
  • • High variance → data spread widely from the mean (wide, flat bell)
  • • The smooth curve approximates the normal distribution shape
  • • Standard deviation bands show typical spread ranges

2. ショートカット公式

展開すると、

∑i=1n(xi−xˉ)2=∑i=1nxi2−nxˉ2\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2 = \sum_{i=1}^n x_i^2 - n\bar{x}^2

となり、計算を簡略化できます。したがって

s2=1n−1(∑xi2−nxˉ2)s^2=\frac{1}{n-1}\left(\sum x_i^2-n\bar{x}^2\right)

です。

3. 例

データ 2,4,4,4,5,5,7,92,4,4,4,5,5,7,9（n=8n=8）では

  • xˉ=5\bar{x}=5
  • 偏差二乗和 =32=32
  • s2=32/7≈4.57s^2=32/7\approx4.57
  • s≈2.14s\approx2.14

4. なぜ n−1n-1 で割るか

nn で割ると平均的に過小評価になります。

E[1n∑(Xi−Xˉ)2]=n−1nσ2\mathbb{E}\left[\frac{1}{n}\sum (X_i-\bar{X})^2\right]=\frac{n-1}{n}\sigma^2

そこで n−1n-1 で割ると

E[s2]=σ2\mathbb{E}[s^2]=\sigma^2

となり、不偏推定量になります。

Interactive Demo: Understanding Biased vs Unbiased Variance

8
5
1.5
Current Sample Data:
[]

Sample Histogram

Sample Histogram
Sample Mean (x̄)

Step-by-Step Calculations

Key Observations:

Why n-1? When we use the sample mean x̄ to calculate deviations, we lose one degree of freedom. The biased estimator (÷n) systematically underestimates the population variance, especially for small samples.

Bessel's Correction: Dividing by (n-1) instead of n corrects this bias. The unbiased estimator's expected value equals the true population variance: E[s²] = σ².

Try different sample sizes: Notice how the bias is more pronounced with smaller samples (n=3-10) but becomes negligible as n grows large. The histogram shows how your sample compares to the true population distribution.

5. なぜ二乗するのか

  1. 平均との整合性がよい（最小二乗）
  2. 代数的に扱いやすい（分散公式）
  3. 微分可能で最適化しやすい
  4. 幾何学的にユークリッド距離と対応する
  5. 独立和で分散の加法性が成り立つ

まとめ

  • 分散と標準偏差は、ばらつきを定量化する最重要指標。
  • ショートカット式で手計算を簡単にできる。
  • n−1n-1 補正は不偏性のために必要。
  • 二乗には理論的・計算的な利点がある。
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