はじめに

連続確率を厳密に定義するには、最初から巨大な集合族に確率を与えるのではなく、 扱いやすい集合で定義した値を、より大きな集合族へ拡張する必要があります。

その中心となる結果が カラテオドリ拡張定理 です。

1. 出発点：前測度

まず、半開区間の有限和のような“簡単な集合族”上で

• 非負性
• 空集合で0
• 可算加法性（定義可能な範囲で）

を満たす関数（前測度）を定義します。

2. 外測度の構成

次に、前測度を使って任意の集合に対して外測度 $\mu^*$ を定義します。

ここで $E_n$ は出発点の集合族から選びます。

3. カラテオドリ可測性

集合 $A$ が可測であるとは、任意の集合 $E$ に対して

が成り立つことです。この条件を満たす集合全体はσ-代数になり、外測度の制限は測度になります。

4. 拡張定理の要点

カラテオドリ拡張定理は、

• 前測度から測度を構成できること
• その測度が元の前測度を拡張すること
• （条件付きで）一意性が得られること

を保証します。

これにより、区間の長さからルベーグ測度、さらに連続分布の確率測度へと進めます。

可視化デモ

下のデモでは、

1. 出発集合（前測度）
2. 外測度での被覆
3. 可測集合の判定

という流れを段階的に確認できます。

まとめ

• カラテオドリ拡張定理は、測度論と確率論の基礎をつなぐ定理。
• 「簡単な集合上の定義」から「σ-代数上の測度」へ正当に拡張できる。
• 連続確率分布を厳密に定義するための土台である。