期待値と分散：離散・連続の場合の計算方法

2025年8月22日

離散と連続の両方の場合における確率変数の期待値と分散の計算方法を、明確な定義と例とともに学びましょう。

ProbabilityBeginnerExpectationVariance

確率論における2つの基本的な概念が期待値（平均）と分散です。

この記事では、簡単な例とともに、離散と連続の両方の設定でそれらの計算方法を説明します。

期待値の定義

確率変数 $X$ が値 $x_i$ を確率 $p_i$ で取る場合：

E[X] = \sum_i x_i \, p_i

これは加重平均です。

$X$ が確率密度関数 $f(x)$ を持つ場合：

E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x \, f(x) \, dx

これは密度に関する平均です。

分散は平均からの二乗偏差の期待値として定義されます：

V[X] = E\big[(X - E[X])^2\big]

これはより便利な形に書き換えることができます：

V[X] = E[X^2] - (E[X])^2

$X$ を公正な6面サイコロの出目（ $1,2,3,4,5,6$ ）とします。

E[X] = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = 3.5

E[X^2] = \frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6} = \frac{91}{6}

V[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{91}{6} - (3.5)^2 = \frac{35}{12} \approx 2.92

$X$ が[0,1]上で一様分布に従うとします。
その密度は $0 \leq x \leq 1$ で $f(x) = 1$ です。

E[X] = \int_0^1 x \, dx = \frac{1}{2}

E[X^2] = \int_0^1 x^2 \, dx = \frac{1}{3}

V[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{1}{3} - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{12} \approx 0.083

期待値と分散を理解することで、確率分布がどのように特徴づけられるかの理解が深まります。これらの量は、特定の分布をより詳しく研究する際に繰り返し現れます。

Expectation:

E[X] = Σ x_i × p_i = (1+2+3+4+5+6)/6 = 3.50

E[X²]:

E[X²] = (1²+2²+3²+4²+5²+6²)/6 = 15.17

Variance:

V[X] = E[X²] - (E[X])² = 2.917

Standard Deviation:

σ = √V[X] = 1.708