はじめに

PCA（主成分分析）は、高次元データを情報を保ちながら低次元に圧縮する代表手法です。 2次元では、

• 最も分散が大きい方向（第1主成分）
• それに直交し、次に分散が大きい方向（第2主成分）

を求める問題として理解できます。

1. 問題設定

中心化された2次元データを $x_i\in\mathbb{R}^2$ とします。単位ベクトル $w$ への射影は $z_i=w^\top x_i$ です。

射影後の分散は

（$S$ は共分散行列）で与えられます。PCAはこれを最大化する $w$ を探します。

2. 固有値問題との対応

制約 $\|w\|=1$ のもとで最大化すると、

が得られ、最大固有値に対応する固有ベクトルが第1主成分になります。

• 第1主成分：最大固有値の固有ベクトル
• 第2主成分：次に大きい固有値の固有ベクトル（第1と直交）

3. 幾何学的な見方

データ雲を最もよく「伸びの方向」で表す軸が第1主成分です。 この軸に沿って射影すると、情報損失を最小限に抑えた1次元表現が得られます。

4. 寄与率

各主成分の寄与率は

で表され、どの主成分がどれだけ情報を保持するかを示します。

インタラクティブデモ

下のデモでデータ分布を変えると、主成分軸・固有値・寄与率がどう変化するかを確認できます。

Step-by-Step PCA in 2D

Raw DataCenteringCovarianceSearchPC1PC2

Step 0: Raw Data

Original 2D dataset with correlation.

Mean: (0, 0) n = 0

New Data

まとめ

• PCAは「分散最大の方向」を見つける手法。
• 2次元では共分散行列の固有値分解として理解できる。
• 主成分は次元削減・可視化・前処理に広く使われる。