前回の記事では、ラプラスとコルモゴロフによる確率の定義を紹介しました。
今回は、その次のステップとして確率分布と**確率密度関数（PDF）**を見ていきます。

確率変数と確率分布

まずは確率変数の考え方を押さえます。
確率変数 $X$ とは、ランダムな実験の結果に数値を対応づけるものです。

• 例：サイコロを1回振る → $X$ を出た目とする（$X \in \{1,2,3,4,5,6\}$）
• 例：区間 [0,1] に針を落とす → $X$ を落ちた位置とする（$X \in [0,1]$）

確率分布は、「$X$ がどんな値を取り、それぞれがどれくらいの確率で起こるか」を表します。
いわば、確率の全体像を示す地図です。

離散の場合（例：サイコロ）

サイコロを1回振ると、起こりうる結果は $1,2,3,4,5,6$ です。
$X$ を出た目と定義すると、確率分布は次のようになります。

表にすると次の通りです。

結果 $k$	1	2	3	4	5	6
確率 $P(X=k)$	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

このような離散的な分布は、**確率質量関数（PMF）**で記述します。

連続の場合（例：区間 [0,1] に針を落とす）

次に、0 から 1 cm の線分上にランダムに針を落とすことを考えます。
$X$ を落ちた位置とすると、$P(X=0.5)$ はいくつでしょうか。

実は、ちょうど 0.5 cm に落ちる確率は 0 です。
連続分布では、1点ではなく区間に対して確率を考えます。

ここで使うのが**確率密度関数（PDF）**です。
たとえば [0,1] 上の一様分布では、密度は

となり、確率は曲線下の面積（積分）で求めます。

つまり、確率は区間上の密度を積分した値です。

離散分布と連続分布の違い

観点	離散分布（PMF）	連続分布（PDF）
扱う対象	個々の値	区間
1点の確率	$P(X=x)$ に意味がある	$P(X=x)=0$
計算方法	和を取る	積分する

まとめ

• 確率変数 $X$ は、ランダムな結果を数値で表す
• 確率分布 は、$X$ の値とその起こりやすさを示す
• PMF は離散の場合（サイコロ・コインなど）を扱う
• PDF は連続の場合（長さ・位置など）を扱う
• 連続分布の確率は「密度曲線の下の面積」として求める

Probability Distributions and Densities

Interactive demonstration of discrete and continuous probability distributions

Discrete (Die Roll)Continuous (Uniform)Comparison

Discrete Distribution (Die Roll PMF)

PMF Property: Each individual outcome has a specific probability.
P(X = 3) = 1/6 ≈ 0.167

Key Concepts

Discrete Distribution (PMF)

• Each outcome has a specific probability
• Sum of all probabilities = 1
• P(X = specific value) ≠ 0

Continuous Distribution (PDF)

• Probability = area under the curve
• Total area under PDF = 1
• P(X = specific value) = 0

Mathematical Notes

Discrete: P(X = k) gives exact probability for outcome k

Continuous: P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f(x)dx

Key insight: For continuous distributions, probability is measured as area, not height!