はじめに

確率変数を厳密に理解するには、

• 標本空間
• 事象族（σ-代数）
• 確率測度

という測度論の枠組みが必要です。確率変数は、この上で定義される可測写像です。

1. 確率空間

確率空間は $(\Omega,\mathcal{F},P)$ で表されます。

• $\Omega$：起こりうる結果全体
• $\mathcal{F}$：事象（測れる集合）の族
• $P$：各事象に確率を割り当てる測度

2. 確率変数の定義

確率変数 $X$ は

という可測写像です。可測性とは、任意のボレル集合 $B\in\mathcal{B}$ に対し

が成り立つことを意味します。

3. なぜ可測性が重要か

「$X\in B$」という事象の確率

を定義するには、逆像 $X^{-1}(B)$ が $\mathcal{F}$ に入っていなければなりません。

4. 分布（pushforward measure）

確率変数が定まると、$\mathbb{R}$ 上の分布 $P_X$ を

で定義できます。これは $P$ を $X$ で押し出した測度（pushforward）です。

5. 離散と連続を統一して見る

• 離散：点集合に質量が乗る
• 連続：区間に密度で確率が与えられる

どちらも「可測集合に対する測度」という同じ形式で扱えます。

インタラクティブデモ

下のデモでは、標本空間上の事象が確率変数を通して実数上の区間に写る様子を視覚化できます。

Length MeasuresArea Measures

Examples of Length Measures

Assigning lengths to intervals - the most familiar example of measures

[0, 3]

0

1

2

3

4

Length calculation: 3 - 0 = 3

[0,1] ∪ [2,3]

0

1

2

3

4

Interval decomposition:

[0, 1] has length = 1

[2, 3] has length = 1

Total length = 1 + 1 = 2

[0, 1.5]

0

1

2

3

4

Length calculation: 1.5 - 0 = 1.5

📏 Properties of Length Measure

• • Length of interval [a, b] = b - a
• • Sum of lengths of disjoint intervals = length of their union
• • Length of empty set = 0
• • All lengths are non-negative

まとめ

• 確率空間は $(\Omega,\mathcal{F},P)$。
• 確率変数は可測写像 $X$。
• 可測性によって「$X\in B$ の確率」が厳密に定義できる。
• 分布は $P_X(B)=P(X\in B)$ で与えられる。